A Survey on exact analytical and numerical solutions of some S.D.E.s based on martingale approach and changing variable method

توضیحات

ABSTRACT

In this paper, we decide to represent analytical and numerical solutions for stochastic differential equations, specially reputed and famous  equations in pricing and investment rate odels. By making martingale process from an arbitrary process in L2(R) space, we infer equations just with stochastic part (drift free). This method could be done by Ito product formula on initial process and an appropriate martingale process,  then we compare simulating method of arising this new equation with other simulating method like as E.M. and Milstein. Another suitable  method is converting S.D.E.s to O.D.E.s whom we try to omit diffusion part of stochastic equation. Afterwards, it could be solved by different numerical methods like as Runge-kutta from fourth order. In this paper, we solve well known equations such as Gampertz diffusion and logistic diffusion by this method. Another powerful one is change of variable method whom we could analysis and survey a well known group of  stochastic equations like as special case of squared radial Langevin process, Cox-Ingersoll-Ross model and Ornstein-Uhlenbeck process. For numerical solution of these stochastic equations, we could apply wiener chaos expansion method whom we have described in other paper.

INTRODUCTION

As we know, analytical solution of partial and ordinary differential equations has been custom since long time ago. This kind of solutions are soimportant especially in physics and engineering . But most of equations don’t have exact solution and even a limited number of these  quations, for instance in classical form, have implicit solutions, although analytical methods and solutions could be so great and principle in  ome cases that we decide to compare and analyze different solutions and their errors with analytical solution. Therefore, various numerical methods could be utilized in most differential equations. Also about stochastic differential equations (S.D.E.s), this issue is correct and different numerical methods like MontCarlo simulation, finite elements and finite differences are usual in finding numerical solutions of S.D.E.

چکیده

در این مقاله تصمیم گرفتیم که راه حل های تحلیلی و عددی برای معادلات دیفرانسیل تصادفی، معادلات معروف خاص و شناخته شده در قیمت گذاری و نرخ سرمایه گذاری را ارائه دهیم. با انجام فرآیند مارینگال از یک فرآیند دلخواه در فضای L2 (R)، معادلات را فقط با بخش تصادفی (راندگی آزاد) می یابیم. این روش می تواند با فرمول محصولات Ito در فرایند اولیه و یک فرآیند مارتینال مناسب انجام شود، سپس روش شبیه سازی این معادله جدید را با روش های دیگر شبیه سازی مانند E.M. و Milstein مقایسه می کنیم. یکی دیگر از روش های مناسب تبدیل S.D.E.s به O.D.E.S است که ما سعی می کنیم بخش انتشار در معادله استوایی را حذف کنیم. پس از آن، می تواند با روش های مختلف عددی مانند Runge-kutta از دستور چهارم حل شود. در این مقاله، با استفاده از این روش، معادلات شناخته شده مانند انتشار گازپروتز و انتشار لجستیک را حل می کنیم. یکی دیگر از عوامل قدرتمند، تغییر روش متغیر است که ما می توانیم یک گروه شناخته شده معادلات تصادفی مانند موارد خاص فرآیند لانژینین شعاعی مربع، مدل Cox-Ingersoll-Ross و روند Ornstein-Uhlenbeck را بررسی و بررسی کنیم. برای حل عددی از این معادلات تصادفی، ما می توانیم از روش گسترش هرج و مرج استفاده کنیم که در مقاله دیگر آن را شرح داده ایم.

مقدمه

همانطور که می دانیم، راه حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل عادی و معمولی از زمان های قدیم سفارشی شده است. این نوع راه حل ها مخصوصا در فیزیک و مهندسی بسیار مهم هستند. اما بسیاری از معادلات راه حل دقیق ندارند و حتی تعداد محدودی از این quation ها، به عنوان مثال در فرم کلاسیک، دارای راه حل های ضمنی هستند، اگر چه روش های تحلیلی و راه حل ها می تواند در مواردی که ما تصمیم به مقایسه و تجزیه و تحلیل راه حل های مختلف و خطاهای آنها با راه حل های تحلیلی. بنابراین، در اکثر معادلات دیفرانسیلی، روش های عددی مختلف می تواند مورد استفاده قرار گیرد. همچنین در مورد معادلات دیفرانسیل تصادفی (S.D.E.s)، این مسئله صحیح است و روشهای عددی متفاوت مانند شبیه سازی موناکارو، عناصر محدود و تفاوت های محدودی در یافتن راه حل های عددی S.D.E.

Year: 2013

Publisher : Third Conference on Mathematical Finance and Applications

By : R. Farnoosh , H. R. Rezazadeh , J. Damirchi

File Information: English Language/ 11 Page / size: 109 KB

Only site members can download free of charge after registering and adding to the cart

Download tutorial

سال : 1392

ناشر : سومین کنفرانس ریاضیات مالی و کاربردها

کاری از : Rفرنوش ,H R رضازاده ,J دمیرچی

اطلاعات فایل : زبان انگلیسی / 11 صفحه / حجم : KB 109

فقط اعضای سایت پس از ثبت نام و اضافه کردن به سبد خرید می توانند دانلود رایگان کنند.خوشحال می شویم به ما پبیوندید

آموزش دانلود