CSCI, MATH 6860 FINITE ELEMENT ANALYSIS

ABSTRACT

The finite element method is a computational technique for obtaining approximate solu tions to the partial diff erential equations that arise in scientific and engineering applica tions. Rather than approximating the partial differential equation directly as with, e.g nite difference methods,the finite element method utilizes a variational problem that involves an integral of the diggerential equation over the problem domain. This domain is divided into a number of subdomains called nite elements and the solution of the partial differential equation is approximated by a simpler polynomial function on each element. These polynomials have to be pieced together so that the approximate solution has an appropriate degree of smoothness over the entire domaind Once this has been done, the variational integral is evaluated as a sum of contributions from each finite el ement. The result is an algebraic system for the approximate solution having a finite size rather than the original infinitedimensional partial differential equation. Thus,like finite difference methods, the finite element process has discretized the partial differen tial equation but, unlike finite difference methods, the approximate solution is known throughout the domain as a pieceise polynomial function and not just at a set of points. Logan attributes the discovery of the finite element method to Hrennikof and McHenry who decomposed a twodimensional problem domain into an assembly of onedimensional bars and beams. In a paper that was not recognized for several years.Courant . used a variational formulation to describe a partial differential equation with a piecewise linear polynomial approximation of the solution relative to a decomposition of the problem domain into triangular elements to solve equilibrium and vibration problems. This is essentially the modern finite element method and represents the first application where the elements were pieces of a continuum rather than structural members.

چکیده

روش عنصر محدود، یک روش محاسباتی برای دستیابی به تقریبی حل معادلات دیفرانسیل جزئی است که در کاربرد علمی و مهندسی بوجود می آیند. به جای تقریب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به طور مستقیم به عنوان مثال، به عنوان مثال، روش های متمایز nite، روش المان محدود استفاده از یک مسئله متغیر است که شامل یک انتگرال معادله پراکندگی در حوزه مشکل است. این دامنه به تعدادی از زیر دامنه ها به نام عناصر نیوته تقسیم می شود و راه حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با یک تابع چندجمله ای ساده بر روی هر عنصر تقریب می شود. این چندجملهایها باید به هم متصل شوند به طوری که تقریبی راه حل صحیح صحیح در مورد کل دومیارد داشته باشد. پس از انجام این کار، انتگرال متغیر به عنوان مجموع سهم از هر یک از مقادیر محدود ارزیابی می شود. نتیجه یک سیستم جبری برای یک راه حل تقریبی با اندازه محدود است و نه یک معادله دیفرانسیل معکوس مادون بی نهایت اصلی. بنابراين، مانند روشهاي متداول محدود، فرآيند عنصر محدودي، معادله ديفرانسيل جزيي را مخدوش مي كند، اما بر خلاف روش هاي متداول محدوديت، راه حل تقريبي در تمام دامنه به عنوان تابع چند جمله اي شناخته شده است و نه فقط در مجموعه اي از نقاط. لوگان شناسایی روش المان محدود به Hrennikof و McHenry است که دامنه مشکل دو بعدی را به مجموعه ای از میله ها و پرتوهای یک بعدی اندازه گیری کرده است. در یک مقاله که برای چندین سال به رسمیت شناخته نشده بود. فرمول بندی متناهی برای توصیف یک معادله دیفرانسیل جزئی با یک تقسیم چندجملهای قطبی خطی از راه حل نسبت به تجزیه دامنه مشکل به عناصر مثلثی برای حل مشکلات تعادل و ارتعاش استفاده کرد. این اساسا روش المان محدود مدرن است و نشان دهنده اولین کاربردی است که در آن عناصر قطعه ای از یک پیوستگی به جای اعضای ساختاری بودند. ؟؟؟ ؟

Year: 2000

Publisher: SPRINGER

By : Joseph E. Flaherty